Ψ = A sin kx라고 두면(k는 angular wave number로, k=2π/λ)


Ψ' = -k^2 A sin kx = -k^2 Ψ


문제의 식은 이 방정식의 양변에 -(h/2π)^2 / (2m) 을 곱해준 것입니다.


(h/2π) * k = h/λ = p 이므로, -(h/2π)^2 / (2m) Ψ' = p^2/2m Ψ = E_k Ψ.


반면 Total Energy = Kinetic Energy + Potential Energy이므로,


-(h/2π)^2 / (2m) Ψ' + V(x)Ψ(x) = EΨ(x).


int(|Ψ|^2, x=0..L)=1 이므로 x<=0 혹은 x>= L 에서 Ψ=0 여야 합니다. (V(x)=∞, 포텐셜 장벽)


또, 0


위의 미분방정식은 상수계수 2계 미분방정식이고, E, m>0이므로,


이 꼴의 미분방정식의 해는


Ψ = C cos bx + D sin bx입니다.


그런데 Ψ(0)=Ψ(L)=0이므로, cos 함수는 버립니다. Ψ=D sin bx.


반면 Ψ(L)=0에서 sin bL=0여야 하므로, bL=nπ. 따라서 b=nπ/L.


Ψ=D sin (nπ x /L) 이고, int |Ψ|^2 dx= 1이 되게 하여야 하는데,


int |Ψ|^2 dx = D^2 * L/2 이므로 D = sqrt(2/L).


따라서 Ψ = sqrt(2/L) sin(nπ/L * x).


이렇게 구한 Ψ가 위의 미분방정식을 만족하여야 하므로,


(nπ/L)^2 *(h/2π)^2 / 2m = E


<-> E = h^2/(8m) * (n^2/L^2).


일반적으로 3-dim일 때는 E = h^2/8m * [(n_x)^2/(L_x)^2 + (n_y)^2/(L_y)^2 + (n_z)^2/(L_y)^2].

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이게 뭐져??ㅡㅡ;;;